가설검정 (Hypothesis Testing) – 가설검정절차와 신뢰구간사이의 관계

This entry is part 4 of 8 in the series 가설검정

 

 

 

 

 

이번 포스트는 가설검정의 네 번째 포스트로 가설검정절차와 신뢰구간사이의 관계 (Relationship Between Hypothesis-Testing Procedures and Confidence Intervals) 를 다룬다. 내용은『Mathematical Statistics with Applications, Sixth Edition, DUXBURY , Dennis D. Wackerly / William Mendenhall / Richard L. Scheaffer』 를 참고했다.

4. 가설검정절차와 신뢰구간사이의 관계 (Relationship Between Hypothesis-Testing Procedures and Confidence Intervals)

지금까지 모 파라미터 \theta 에 대한 추론과 관련한 다(多) 표본검정 절차를 살펴 보았다.  \hat{\theta} 을  \theta 에 대한 추정양이라고 하면 이 추정량은 근사적으로 정규 표본 분포를 따른 다는 것을 알고 있다. (추정에서 추가 논의할 예정입니다.) \theta 에 대한 1-α 계수를 갖는 two-sided confidence interval (양측 신뢰구간) 은 다음과 같이 주어진다.

\hat{\theta}\pm z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}}

 

이 표현식에서 \sigma_{\hat{\theta}} 는  \hat{\theta} 추정양의 표준 오차 (  추정양 \hat{\theta} 의 표본 분포의 표준 편차) 이며, z_{\alpha/2} P(Z>z_{\alpha/2})=\alpha/2 를 만족하는 정규분포표에서 있는 값이다. α 수준 다(多) 표본 양측 검정 (two-sided test), H0: \theta = \theta_0 versus Ha: \theta\not=\theta_0 을 실시할 때 검정통계량으로 Z test 를 실시했다.

Z =\dfrac{\hat{\theta}-\theta_0}{\sigma_{\hat{\theta}}}

 

이 때, Z 가 기각역 \{|z|>z_{\alpha/2}\} 에 빠지면 귀무가설 H0 를 기각한다. 이 두가지 절차 (신뢰구간과 Z 검정통계량) 모두 추정양  \hat{\theta} 과 그 표준오차 \sigma_{\hat{\theta}} , 그리고 표준정규분포표의 값 z_{\alpha/2} 를 사용한다. 좀 더 자세히 살펴보자.

어떤 검정의 기각역의 반대 (complement) 는 종종 ‘채택역 (acceptance region)’ 이라고 불린다. α 수준 다(多) 표본 양측 검정 (large-sample two-tailed α-level test) 에서 ‘채택역’은 \overline{RR}=\{-z_{\alpha/2} \leq z \leq z_{\alpha/2} \} 로 주어진다. 즉, 다음을 만족할 경우,

-z_{\alpha/2}\leq\dfrac{\hat{\theta}-\theta_0}{\sigma_{\hat{\theta}}}\leq z_{\alpha/2}

 

귀무가설 H0: \theta = \theta_0 를 기각하지 못한다.

다시 표현하면, 다음을 만족할 경우

\hat{\theta}-z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}} \leq\theta_0 \leq\hat{\theta}+z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}}

 

귀무가설은 α 수준에서 기각되지 않는다 (즉, 채택된다.)

위 부등식에서 왼쪽과 오른쪽 항의 값이 파라미터 θ의 100(1-α)% 양측 신뢰구간 값이 된다. 따라서 다(多)표본 절차에서 100(1-α)% 양측 신뢰구간을 구성하는 것과 α 수준 양측 가설검정 (two-sided hypothesis test with α-level) 사이에는 duality 가 존재한다. 귀무가설 H0: \theta=\theta_0 과 Ha: \theta\not=\theta_0 에 대해서 \theta_0 가 θ에 대한 100(1-α)% 신뢰구간에 위치한다면 귀무가설 H0를 기각할 수 없다. 반대로  \theta_0 가 신뢰구간 밖에 위치하면 귀무가설 H0를 기각한다. 동등하게, 100(1-α)% 양측 신뢰구간은 H0: \theta=\theta_0 가 α 수준 에서 ‘채택’ 될 수 있는 모든 값 \theta_0 들의 집합이라고 해석할 수 있다. 신뢰구간에 속하는 어떤 값이라도 모 파라미터로 채택될 수 있다. 단지 하나의 값이 선택되는 것이 아니라 여러개 (실제로 셀수 없이 많은)가 있는 존재하는 것이다. 이런 이유로 특정한 값 \theta_0 이 신뢰구간에 속한다고 할 지라도 \theta 를 이 값 \theta_0 라고 한정하는 귀무가설은 채택하지 않는다. 많은 값들이 \theta 로 채택될 수 있기 때문에, 하나의 \theta_0 값만을 참 값으로 규정하는 것은 삼가해야 한다. 추가적인 코멘트는 이 시리즈의 6번째 포스트에서 다루기로 하자.

지금까지 양측 검정에 대한 신뢰구간과 그 가설검정에 대해서 알아 보았다. 마찬가지 방식으로 단측 검정 (one-sided test) 에 대해서도 확인 할 수 있을 것이다.

  • α 수준 양측검정의 신뢰구간 (Two-Sided Test with α-level)
~~~~~~~~~~~~~~~~\hat{\theta}-z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}} \leq\theta_0 \leq\hat{\theta}+z_{\alpha/2}\sigma_{\hat{\theta}}

 

  • α 수준 우측 검정의 신뢰구간 (Upper-tail Test with α-level)
~~~~~~~~~~~~~~~~\hat{\theta}-z_{\alpha}\sigma_{\hat{\theta}} \leq\theta_0

 

  • α 수준 좌측 검정의 신뢰구간 (Lower-tail Test with α-level)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\theta_0 \leq\hat{\theta}+z_{\alpha}\sigma_{\hat{\theta}}

 

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